Menot, La résolution des problèmes d'arithmétique CE-CM-CS (guide du maître) - 1934

L. Menot, La résolution des problèmes d'arithmétique CE-CM-CS (guide du maître) - 1934.

Cours élémentaire, cours moyen, cours supérieur.

Guide du maître - Directions - Solutions.

Ouvrage présenté par Lisa Dexburry.

http://fr.scribd.com/doc/173620090/Mathematiques-Classiques-La-Resolution-des-Problemes-d-Arithmetique-CE-CM-CS-Maitre

Voir aussi dans la même collection :

 Javelot, Comment résoudre les problèmes de géométrie élémentaire.

INTRODUCTION

« N’oublions pas que l’algèbre est, à certains égards, une arithmétique simplifiée. Il n’est donc pas contraire à notre principe général d’initier nos élèves à la pratique de cet incomparable instrument de calcul. »

« Il ne saurait être question, naturellement, de théories algébriques. Il s’agit simplement d’habituer les élèves à l’emploi des lettres, des signes et des solutions algébriques les plus élémentaires. »

        Tels sont les conseils que l’on trouve dans les Instructions officielles de 1923 (Ces conseils donnés à propos de l’enseignement du calcul au C. S. peuvent parfaitement s’appliquer, à notre avis, au C. M. et même au C. E.). Pourquoi faut-il que lorsqu’on parle d’algèbre, on songe infailliblement à des x, y ou z ? Pris sous cet aspect, l’enseignement en est bien rébarbatif et les élèves des classes primaires s’y adaptent très diffici­lement.

        Que représente une lettre ? Une quantité connue ou inconnue. Alors pourquoi ne pas prendre une repré­sentation qui parle facilement à l’intelligence de l’enfant ?

        Ensuite, il faut définir les notions simples, si simples pour le maître qu’il oublie quelquefois de les donner. Par exemple, soit le prix d’achat. Il semble que tous les élèves doivent pouvoir dire ce qu’est un prix d’achat. Ce n’est pas exact : ils sentent cette notion confusément, mais ne peuvent la définir nettement.  Il faut donc définir les termes fondamentaux.

         D’autre part, les enfants ont toujours tendance à ne pas répondre nettement à la question posée. Qu’un problème se termine ainsi : « Combien ce baril pèse-t-il ? » L’élève répond toujours : « On demande combien ce baril pèse. » Il a répété la question posée sans la préciser. La consé­quence immédiate se trouvera dans la rédaction des solu­tions où l’on trouvera des expressions comme celles-ci : « Il faut de tombereaux » ou bien : « Il a fallu de planches ». Posez dans une classe la question : « Combien doit-on revendre le mètre ? » et comptez les élèves qui répondront « On demande le prix de vente du mètre. »

         Un problème étant posé, que fait l’élève le plus souvent ? il aligne des suites d’opérations sans écrire une ligne de solution. Si le problème est un peu compliqué, pas de points de repère et l’enfant a vite fait d’oublier ce qu’il cherchait. Il faut donc écrire la solution même au brouillon. C’est bien long, direz-vous ? Non, avec la notation simplifiée.

         Voyons maintenant ce qu’est un problème ? Pas autre chose qu’une «devinette» et non une chose difficile. Il faut persuader l’enfant de cette vérité première. Il peut faire son problème s’il applique ce qu’on lui a enseigné. Mais avant de tenter de résoudre un problème, il faut savoir ce que l’énoncé donne comme points de repère et bien comprendre ce qu’on demande. Comment disséquer un énoncé ? Rien de plus simple et de plus rapide en employant la notation simplifiée.

NOTATION SIMPLIFIÉE.

         Les quantités totales sont désignées par de grandes lettres en caractères d’imprimerie ; ces lettres seront les premières des termes qui désignent les quantités. Les quantités qui se rapportent à l’unité sont désignées par des lettres minus­cules.

         Ainsi on écrira prix d’achat total : A ; prix d’achat de l’unité : a ; bénéfice total : B ; bénéfice sur une unité : b.

         L’élève ne devra jamais dire B, mais bénéfice total. Il sera utile et souvent nécessaire d’introduire des indices, lettres ou chiffres afin de séparer nettement les données du problème. A-t-on plusieurs lots d’objets, le prix d’achat total du 1^er lot sera : A₁ ; le prix de vente de l’unité du 2^e lot sera : v₂. Un nombre de fours de travail sera n_t, ou n_jt, comme l’on voudra. Dans un énoncé, un épicier achète-t-il du savon et du sucre ? Comment séparer les 2 « prix d’achat » ? On écrira pour le sucre : A_su et pour le savon : A_sa, etc. Cette question d’indice ne présente aucune difficulté et les élèves, au cours de la 1^re leçon, l’appliquent aisément. Il faut signaler aussi une petite modification de disposition. Au lieu d’indiquer une division par : , on emploie le trait de fraction (12/4).  On simplifie ainsi les questions relatives à la règle de trois, tant %, etc.

AVANTAGES :

         1. L’énoncé d’un problème sera résumé en quelques égalités. L’élève verra d’après les données et les règles qu’il saura par cœur quelle doit être la marche à suivre.

         2. Les solutions au tableau ou sur le cahier de brouillon seront très courtes. On gagne du temps.

         3. On compare très facilement et très rapidement la valeur de 2 solutions différentes du problème.

         4. L’écriture simplifiée permet de donner succinctement la marche du problème. On donne souvent à des élèves un problème qui ne paraît pas nécessiter d’explication et cependant l’enfant ne comprend pas la question posée.

         Pour illustrer ce qui vient d’être dit, soit le problème suivant : Un marchand achète 27 m. de drap qu’il vend 513 fr. en faisant un bénéfice de 1 fr. 50 par mètre. Combien a-t-il payé le mètre ?

         L’énoncé s’écrit sous forme abrégée :

              n = 27; V = 513; b = 1 ,50 ; a ?

     Il faut chercher a, or nous savons que :

            A = A/n ou       a = v – b ;

         donc deux solutions possibles :

a = A/n	a = v - b
A = V - B	v = V/n
B = b X n

La 2e solution est nettement plus simple et pourtant elle n’apparaît pas tout de suite à l’élève.

       Comme exemple de problème traité avec des indices, soit l’énoncé suivant :

       Un épicier a acheté 45 kg de sucre à 3 fr. 50 le kg et du café à 15 fr. le kg. Il a donné pour payer le tout 382 fr. 50. Combien a-t-il acheté de kg de café ?

         Ici, il faut faire la distinction entre le sucre et le café.

Poids du café (c’est un nombre de kg) : n_c ; prix d’achat total du café : A_c. ; prix d’achat total du sucre A_s. ; prix d’achat total A.

         Par suite la solution sera :

              n_{c =} A_c  / a_c

              A_c = A - A_s

                   A_s = a_s X n_s

       Cette solution est celle qui est donnée oralement pour rappeler les règles apprises précédemment ; mais au tableau, on écrira, puisque A, A_c, a_c, a_s et n_s sont donnés :

              n_{c =} A_c  / 15

              A_c = 382 fr. 50 - A_s

                   A_s = 3 fr. 50 X 45

PLAN D’EXPOSITION.

       La notation simplifiée nous fournit un excellent moyen d’exposition rapide et très souple. Elle nous sera utile également pour la classification des problèmes, en ce sens qu’elle nous permettra de résumer les règles que l’enfant devra savoir par cœur.

Nous avons classé les problèmes d’après les opérations qu’ils nécessitent et non par types. Nous aurons donc les problèmes relatifs à l’addition, à la multiplication, à la soustraction, à la division. Pourquoi aborder la multiplica­tion tout de suite après l’addition ? Pour la raison très simple que ces 2 opérations sont identiques. Par les pro­blèmes sur l’addition, nous abordons d’abord les notions très simples et d’usage courant (prix d’achat et prix de vente) mais que nous définissons néanmoins. Puis les élèves ayant saisi le mécanisme des problèmes relatifs à ces notions, nous ferons porter les problèmes sur une quantité quelconque, que ce soit un prix d’achat, un prix de vente, une surface, un volume, etc. La généralisation sera comprise puisque la règle est exacte­ment la même que pour un cas particulier. Nous défini­rons ensuite le bénéfice, le prix de revient, le gain. Tous les problèmes sur l’addition seront ainsi épuisés.

Pour la multiplication, le même principe nous a guidés : d’un cas particulier arriver au cas général et n’offrir qu’une seule règle à retenir.

       Pour la soustraction, nous trouvons les problèmes relatifs à la dépense, à l’économie, au prix d’achat, au bénéfice, car ces notions reviennent très souvent dans les problèmes et il vaut mieux les définir séparément sans les considérer comme des cas particuliers de la règle générale qui termine le chapitre.

       Enfin pour la division, nous ne trouvons que deux genres de problèmes correspondant au problème que fournit la multiplication. Là encore, nous avons voulu d’abord prendre des cas particuliers avant d’aborder le cas général ; le prix d’achat et le prix de vente nous ont servi comme précé­demment.

       Puis viennent quelques problèmes d’application, d’autres traitant les questions se rapportant aux fractions ; puis les problèmes se rapportant à la géométrie.

       Il nous parait, en effet, préférable d’étudier d’abord les problèmes sur les 4 opérations avant de traiter les problèmes de géométrie. Ceux-ci, d’après nous, ne sont que des pro­blèmes d’application. Quand l’enfant saura calculer une surface qui n’est qu’un nombre de m² ou d’ha, etc., ou saura calculer un volume qui n’est qu’un nombre de m³ ou de stères, etc., il n’aura plus de difficultés pour continuer les problèmes s’il a vu tous ceux relatifs aux 4 opérations.

       En géométrie, nous avons voulu aussi une méthode rationnelle ramener chaque question à une autre plus générale, ce qui fait que l’élève n’aura à retenir que quelques formules applicables ensuite très aisément à chaque cas particulier. Par exemple, pour le calcul des volumes, il n’aura qu’une formule : volume = base X hauteur ; dans le cas du cylindre, il sait que la base est un cercle et par conséquent la surface en est πR².

         D’autre part, nous avons indiqué en face de quelques problèmes la manière d’écrire un énoncé en abrégé, à l’aide d’un dessin et de quelques notations. Les élèves ont ainsi sous les yeux toutes les données de l’énoncé et sa repré­sentation graphique. On pourra procéder de même pour tous les problèmes de géométrie.

       Ce procédé, qu’il ne faut pas généraliser à l’excès, pourra rendre des services à certains de nos élèves pour lesquels la représentation graphique constituera une aide. Nous le recommandons pour ceux d’entre eux chez lesquels le sens visuel est particulièrement développé.

       Ce guide pratique s’adresse plus particulièrement aux coure élémentaire et moyen. Au cours élémentaire, on pourra se borner à ne proposer que les exercices oraux.

       Évidemment, il reste à approfondir certaines questions comme la règle de trois inverse, le calcul du taux, du capital, etc. Ce sont là des questions simples qui pourront être étudiées à la fin du cours moyen 2^e année. Nous n’avons pas rédigé un cours complet d’arithmétique, mais une méthode et nous ne prétendons pas avoir fait œuvre parfaite ; notre plus grand désir serait d’avoir fait œuvre utile.